音律与十二平均律Tuning Systems & Equal Temperament

前面反复说「一个八度分成 12 个半音」「半音」「等音」。但为什么是 12 个、每个到底差多少,从没正式讲过。这正是音律要回答的问题:给一组音定频率。

一个两难:协和 vs 转调

理想情况下,我们想让音与音之间尽量协和,也就是频率成简单整数比(见 泛音列):

• 纯五度 = 3:2、纯四度 = 4:3、大三度 = 5:4。

但这套「纯律」有个致命伤:它只在一个调里协和。因为音高是相对比例,一旦换调,某些音程的比例就变了,听起来就「跑」了。用五度相生法(连续纯五度往上堆)也一样:堆满 12 个纯五度,比 7 个八度要多出约 1/4 个半音(这个误差叫「毕达哥拉斯音差」)。所以古代音乐一旦转调,就得重新调律,钢琴上可没有那么多根弦给你调。

十二平均律:用一点协和换自由

十二平均律的解法是「一刀切」:把八度(频率比 2:1)平均分成 12 等份,每个半音的频率比都是:

2 的 12 次方根 ≈ 1.05946(一个半音 = 100 音分)

代价是所有音程都「差一点点」:纯五度从纯律的 3:2(701.955 音分)压到 700 音分,差约 2 音分,耳朵几乎听不出来;大三度差得多一些(约 14 音分),所以平均律的三度略「粗」、略「亮」。换来的是:任何调、任何音之间都能自由转调,钢琴不用重新调弦,一首歌想升几个 key 就升几个 key(见 转调)。

等音的由来

平均律还顺手送了个东西:等音。在平均律下,C♯ 和 D♭ 落在同一个频率上,所以钢琴上它们共用一个键。纯律里它们其实是两个音。这也解释了 变音记号 一节里说的:「同一个事实的两种说法」。

历史:一条公式,东西方各算一遍

把一个八度精确均分为 12 份,需要给 2 开 12 次方,这在算盘时代并不轻松。16 世纪末,明朝的朱载堉用珠算开方算出这套比值,并把成果献给朝廷,史称「新法密率」,这是已知最早的十二平均律数学方案。欧洲几乎独立走上了同一条路:17 世纪的学者与乐器制造者陆续试验平均律调弦,巴赫则以《平均律钢琴曲集》上下两卷走遍全部 24 个大小调,把“任何调都能弹”写成了一套作品集。18 到 19 世纪,随着钢琴进入家庭,十二平均律成为西方键盘乐器的出厂默认;吉他的品丝间距同样按平均律划分,每品正好一个半音。

常见误区

1. 平均律就是“不准”。音律没有绝对的对错,只有取舍:平均律的五度与纯律只差约 2 音分,平均律内部所有调完全一致,这恰是纯律做不到的。
2. 所有乐器都在平均律上。钢琴、吉他这类固定音高的乐器是;弦乐四重奏与合唱没有品位束缚,演奏中常自然滑向更纯的五度与三度,管乐则受泛音列牵引。
3. 纯律在任何调都好听。纯律的“纯”只属于一个调,一旦换调,某些音程立刻变味,这正是历史上反复为转调问题寻找新律制的原因。
4. 音分是频率单位。音分度量的是两个频率的比值关系:半音 100 音分、八度 1200 音分,同一个音分差值在不同音高上对应的频率差并不相同。

试一试:等音同频

在平均律下,升 C 与降 D 是同一个键、同一个频率。先后听这两个音,确认它们完全相同:

练习

1. 半音即 100 音分:在键盘上任选两音,先数半音数、口算成音分(半音数 × 100),再说出对应的音程名称。自查:连续五组全部对应正确。
2. 等音抢答:任意报一个黑键音名,立刻说出它的升名与降名两种写法。自查:任意黑键 3 秒内答出两种写法。
3. 五度圈闭环:沿五度圈从 C 出发,连续上行纯五度 12 次,在键盘上核对是否回到 C。自查:走完一圈音名闭合,并说出它与“12 个半音正好一个八度”的对应关系。

纯律追求纯净,平均律换取转调自由。今天你弹的钢琴、吉他、尤克里里几乎全部采用十二平均律,巴赫的《平均律钢琴曲集》是这套方案最早的著名示范。

延伸:半音、全音的度量见 音程;平均律让 12 个调都能被「套」进 五度圈。