音律与十二平均律Tuning Systems & Equal Temperament

前面反复说「一个八度分成 12 个半音」「半音」「等音」——但为什么是 12 个、每个到底差多少,从没正式讲过。这正是音律要回答的问题:给一组音定频率。

一个两难:协和 vs 转调

理想情况下,我们想让音与音之间尽量协和,也就是频率成简单整数比(见 泛音列):

• 纯五度 = 3:2、纯四度 = 4:3、大三度 = 5:4。

但这套「纯律」有个致命伤:它只在一个调里协和。因为音高是相对比例,一旦换调,某些音程的比例就变了,听起来就「跑」了。用五度相生法(连续纯五度往上堆)也一样:堆满 12 个纯五度,比 7 个八度要多出约 1/4 个半音(这个误差叫「毕达哥拉斯音差」)。所以古代音乐一旦转调,就得重新调律——钢琴上可没有那么多根弦给你调。

十二平均律:用一点协和换自由

十二平均律的解法是「一刀切」:把八度(频率比 2:1)平均分成 12 等份,每个半音的频率比都是:

2 的 12 次方根 ≈ 1.05946(一个半音 = 100 音分)

代价是所有音程都「差一点点」:纯五度从纯律的 3:2(701.955 音分)压到 700 音分,差约 2 音分——耳朵几乎听不出来;大三度差得多一些(约 14 音分),所以平均律的三度略「粗」、略「亮」。换来的是:任何调、任何音之间都能自由转调,钢琴不用重新调弦,一首歌想升几个 key 就升几个 key(见 转调)。

等音的由来

平均律还顺手送了个东西:等音。在平均律下,C♯ 和 D♭ 落在同一个频率上——所以钢琴上它们共用一个键。纯律里它们其实是两个音。这也解释了 变音记号 一节里说的:「同一个事实的两种说法」。

一句话:纯律要「纯」,平均律要「自由」。巴赫写《平均律钢琴曲集》就是在为这套方案背书——今天你弹的钢琴、吉他、尤克里里,几乎全部是十二平均律的。

延伸:半音、全音的度量见 音程;平均律让 12 个调都能被「套」进 五度圈。